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 Énigme 109 : Les six cordes

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Louisedu35
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MessageSujet: Énigme 109 : Les six cordes   Énigme 109 : Les six cordes EmptyLun 20 Mai 2013 - 14:11

Supposons que vous ayez six cordes identiques dans la main, et que vous fermiez le poing de sorte que les deux extrémités de chaque corde soient visibles, mais pas le reste.
Il est alors impossible de déterminer à quelle corde correspond chaque extrémité, ni quelles sont les morceaux qui appartiennent à la même corde.

Dans cette situation, vous attachez deux à deux, de manière totalement aléatoire, les extrémités du haut, puis celles du bas.

Lorsque vous ouvrez la main, trois configurations sont possibles :
- Les six cordes attachées forment un seul grand anneau,
- Quatre cordes sont attachées, formant un anneau moyen, et les deux autres cordes forment un petit anneau,
- Les cordes sont attachées deux à deux et forment trois petits anneaux.

Question : quelle est la probabilité pour obtenir un grand anneau ?
La réponse ici n'est pas instinctive, mais peu être trouvée avec un peu de calcul.


Question subsidiaire : quelles sont les probabilités d'obtenir les autres configurations ?

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Dernière édition par Louisedu35 le Dim 9 Juin 2013 - 11:25, édité 1 fois
Louisedu35
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MessageSujet: Re: Énigme 109 : Les six cordes   Énigme 109 : Les six cordes EmptyLun 3 Juin 2013 - 23:21

Aïe aïe aïe... En deux semaines personne n'a tenté de résoudre cette énigme... Vous aurais-je surestimés ?
Je pense qu'il est temps de donner quelques indications. L'énigme n'est pas si difficile que ça si on a la bonne technique.

Bon, les cordes sont attachées entre elles en deux temps. D'abord les extrémités dites "du haut", puis celles "du bas".
Sachez que lorsque vous attachez les extrémités du haut, cela n'a pas d'incidence sur le résultat.
Il est donc possible, en notant A, B, C, D, E et F les différentes cordes, de supposer qu'elles ont été attachées de façon à former les paires AB, CD et EF (ou AC DE BF, ou n'importe quoi, cela ne change rien au calcul).

Il s'agit à présent de compter combien de configurations sont possibles en attachant les extrémités du bas, et quel sont celles qui permettent de former un grand anneau.
A partir de là, le calcul ressemble à ce qu'on a pu voir dans certaines énigmes de professeur Layton, et ne devrait donc pas vous poser trop de problèmes.

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MessageSujet: Re: Énigme 109 : Les six cordes   Énigme 109 : Les six cordes EmptyDim 9 Juin 2013 - 11:15

On sait que la probabilité pour qu'un événement se réalise est égale au nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues. Ici, il est égal à 15 (id est 9+3+2+1 ou encore 3+4*3).
Pour l'anneau, j'ai trouvé au début une probabilité égalant 12/15 (=4/5) car on peut remarquer qu'il y a en tout 15 possibilités moins 3 cas qui feraient 3 petits anneaux (soit 15-3), configuration que l'on ne souhaite pas avoir pour l'instant. Mais ce n'est pas suffisant.
Lorsque les extrémités supérieures des cordes sont nouées (peu importe l'ordre, on aura toujours ce même point de départ), seules 4 possibilités sur 5 nous permettraient d'obtenir un seul grand anneau en évitant d'en faire un petit. Une fois qu'on attaché la partie inférieure de la première corde avec un des 4 autres bouts, on a 3 choix. Le premier nous oblige à faire un anneau moyen et les deux autres nous permettent d'en faire un grand. Ça fait 2 issues favorables sur 3.
On peut en conclure que P(a) = (4/5)*(2/3) = 8/15

La probabilité pour que les cordes forment un grand anneau est de 8/15.

> Pour les autres configurations, on considère que les extrémités supérieures des cordes sont attachées deux à deux.
Pour la configuration d'un anneau moyen et de deux petits anneaux, on remarque qu'il y a trois chances sur cinq (on commence par faire une petite boucle et ensuite une moyenne) pour qu'elle se réalise au début. Après avoir attaché l'un des trois bouts, il y a 3 choix. On ne souhaite pas avoir une petite boucle, donc un des choix est éliminé. Il en reste deux, ce qui fait 2 sur 3.
Donc P(b) = (3/5)*(2/3) = 6/15

En ce qui concerne celle où les cordes forment 3 petits anneaux, on sait qu'il y a une chance sur cinq pour qu'une petite boucle soit faite. Si on ne la saisit pas, on aura immédiatement les deux autres configurations. Une fois qu'on a formé cette boucle, demeurent 3 choix, comme tout-à-l'heure. Seul un d'entre eux permet de former une petite boucle. Si elle est faite, aucune autre configuration ne sera, dès lors, possible.
Pour conclure, on voit que P(c) = (1/5)*(1/3) = 1/15.
Il s'agirait donc de la configuration la moins probable.

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Louisedu35
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MessageSujet: Re: Énigme 109 : Les six cordes   Énigme 109 : Les six cordes EmptyDim 9 Juin 2013 - 11:25

Et c'est exact ! Félicitations !!!

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MessageSujet: Re: Énigme 109 : Les six cordes   Énigme 109 : Les six cordes Empty

 

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