Mesdames et messieurs, je vais vous prouver que tout groupe de personnes contenant au moins une fille ne contient que des filles !

Pour ce faire, je vais montrer que la proposition énoncée est vraie pour les groupes d'une personne, puis que si la proposition est vraie pour les groupes de n personnes (n étant un nombre entier supérieur ou égal à 1), elle l'est aussi pour les groupes de n+1 personnes.
C'est ce que l'on appelle un raisonnement par récurrence (dont certains ici doivent en connaître le principe).

- Un groupe de une personne contenant une fille... ne contient que des filles. Je ne pense pas avoir besoin d'expliquer pourquoi.


- Soit un nombre n supérieur ou égal à 1. Supposons que tous les groupes de n personnes contenant au moins une fille ne contiennent que des filles.
Considérons un groupe de n+1 personnes, dont au moins l'une est une fille. Notons ces personnes p(1), p(2), ..., p(n+1), de façon à ce que la personne p(1) soit une fille.

Considérons le groupe {p(1), ..., p(n)}. Ce groupe contient n personnes, dont une fille (l'individu p(1)). Tous les membres de ce groupe sont alors des filles, d'après notre hypothèse.

Considérons à présent le groupe {p(2), ..., p(n+1)}. Ce groupe contient également n personnes, dont au moins une fille (puisque nous avons montré que les individus p(2), ..., p(n) sont des filles). Ce groupe ne contient donc que des filles.

Ainsi, tous les membres du groupe {p(1), ..., p(n+1)} sont des filles.


- En conclusion, tout groupe de personnes contenant au moins une fille ne contient que des filles !



Cette conclusion totalement absurde ne peut provenir que d'un raisonnement faux. Mais saurez-vous trouver la faille dans celui-ci ?

Eh bien, si je ne m'abuse, la faille dans le raisonnement tient tout simplement au fait que la récurrence est mal initialisée : il faudrait la commencer pour un groupe de deux filles pour qu'elle ait un sens.
En effet, pour n=2, le raisonnement ne tient pas : certes, p(1) est bien une fille, mais il est alors impossible de prouver que p(2) en est une (le mode opératoire de l'itération ne fonctionnant alors plus). Et ce, pour la simple et bonne raison qu'il se peut tout à fait que ce ne soit pas une fille !

C'est ça, félicitations !

Je locke.